Binomialkoeffizienten

Der Binomialkoeffizient gibt in Bernoulli-Ketten die Anzahl der Pfade an, bei n Durchführungen genau r Treffer zu erhalten.
Dies wird bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten benötigt.

Schreibweise:

  • wie ein Vektor (n über r in runden Klammern)
  • Gelesen: "n über r"
Berechnung: mithilfe der nCr-Taste deines Taschenrechners, also zuerst n eingeben, dann nCr-Taste drücken, dann r eingeben. Ohne Taschenrechner:
  • Zähler: n · (n-1) · (n-2) · ... (n-r+1) [insgesamt r Faktoren]
  • Nenner: 1 · 2 · 3 · ... · r [ebenfalls r Faktoren]
  • Kürzen (bis der Nenner 1 ist!), dann verbliebenen Zähler berechnen.
Beispiel
49
7
=
?

Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten:

Bernoulli-Experiment:
Zufallsversuch, bei dem genau zwei mögliche Ergebnisse interessieren, z.B.

  • "Erfolg -- Nichterfolg"
  • "Treffer -- Niete"
  • "0 -- 1".
  • Ist die Treffer-Wahrscheinlichkeit p, so ist die Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit q = 1− p (Gegenereignis).

Bernoulli-Kette der Länge n:

  • Ein Bernoulli-Experiment wird n mal wiederholt, wobei die Durchführungen jeweils unabhängig voneinander sind.
  • Ein Pfad mit r Treffern hat die Wahrscheinlichkeit pr · qn-r, wobei p die Trefferwahrscheinlichkeit und q = 1 − p die Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit ist.
  • In einer Bernoulli-Kette der Länge n gibt der Binomialkoeffizient "n über r" die Anzahl der Pfade mit genau r Treffern an.

Beispiel
Ein Würfel wird 4 Mal geworfen. Handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment? Wenn ja, dann gib Trefferwahrscheinlichkeit und Länge der Bernoulli-Kette an.
Ein Würfel wird 4 Mal geworfen und die Anzahl der geraden Zahlen notiert. Handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment? Wenn ja, dann gib Trefferwahrscheinlichkeit und Länge der Bernoulli-Kette an.

Aus der Tabelle "Binomialverteilung kumulativ" können Wahrscheinlichkeiten der Art P( Z ≤ k ) abgelesen werden. Um P( Z > k ) zu bestimmen, liest man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" ab und zieht diesen dann von 1 ab.

Mit dem GTR lässt sich die kumulative Wahrscheinlichkeit P( Z ≤ k ) bei gegebener Stichprobenlänge n und Trefferwahrscheinlichkeit p durch folgenden Befehl bestimmen: binomcdf (n , p , k)

Beispiel 1
Eine Urne enthält eine weiße und 7 schwarze Kugeln. Wie oft musst du mindestens eine Kugel (mit Zurücklegen) ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 2-mal "weiß" zu ziehen?
Antwort: mindestens ?-mal
Beispiel 2
Die Verarbeitung von Bauteilen wird als "sehr gut" bezeichnet, wenn man in einer Stichprobe von 100 Stück mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 96% maximal 3 defekte Bauteile findet. Wie hoch darf der Anteil an defekten Bauteilen maximal sein?
Antwort:
 
? % (gerundet auf eine Dezimale)

Bernoulli Formel:

Für eine Bernoulli-Kette der Länge n lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(X=r), dass die Zufallsgröße X genau r Treffer (Trefferwahrscheinlichkeit p) hat mit der Bernoulli-Formel berechnen:

Bn,p = P(X=r) = (nr) · pr · (1 − p)n-r
Beispiel 1
Wie oft muss ein Würfel mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens eine 1 zu würfeln?
Beispiel 2
Ein Würfel wird 5 Mal geworfen.
Wahrscheinlichkeit für genau vier Einser:
 
?%
Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Quadratzahlen:
 
?%

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem GTR:

Gegeben: Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Wahrscheinlichkeit für GENAU r Treffer:

Bn,p = P(X = r) = binompdf (n , p , r)

Wahrscheinlichkeit für HÖCHSTENS r Treffer:

Fn,p = P(X ≤ r) = binomcdf (n , p , r)
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