Lernvideo
Zweite Ableitung und Krümmung
Leitet man f ab, so erhält man f ´ (erste Ableitung von f).

Leitet man f ´ ab, so erhält man f ´´ (zweite Ableitung von f).

Um f ´´ bilden zu können, muss f zweimal differenzierbar sein.
f bzw Gf f ´ f ´´
streng monoton zunehmend positiv
streng monoton abnehmend negativ
linksgekrümmt streng monoton zunehmend positiv
rechtsgekrümmt streng monoton abnehmend negativ
Beispiel
Lies das jeweilige Vorzeichen von f(-1), f '(-1) und f ''(-1) ab. Gib jeweils ein möglichst großes Intervall an (geschätzt), in dem f, f 'bzw. f '' positiv ist.
graphik

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Zur eindeutigen Bestimmung der Funktionsgleichung wird ein Gleichungssystem benötigt, das n+1 Gleichungen enthält.

Vorgehensweise, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:

  1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung mit ihren Ableitungen auf.
  2. "Übersetze" alle gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen.
  3. Stelle das Gleichungssystem auf, indem du die Koordinaten in die gefundenen Gleichungen einsetzt.
  4. Löse das Gleichungssystem
  5. Setze die gefundene Lösung in die Funktionsgleichung ein

Beispiel 1
Eine Funktion 4. Grades hat verläuft durch den Ursprung und besitzt in H(2|3) einen Hochpunkt, in T(4|-2) einen Tiefpunkt. Reicht die gegebene Information aus, um die Gleichung der ganzrationalen Funktion eindeutig zu bestimmen?
Beispiel 2
Eine Funktion 2. Grades hat einen Tiefpunkt bei (0|1) und geht durch den Punkt P(2|9).
f(x)
=
?x
2
+
?x
+
?
Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel 1
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
1
4
 
x
3
+
6x
2
45x
1
Beispiel 2
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
1
4
 
x
3
+
6x
2
45x
1
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel 1
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion
 
f
 
x
=
x
4
2x
3
9
2
 
x
2
+
2x
 
.
Beispiel 2
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion
 
f
 
x
=
x
4
2x
3
9
2
 
x
2
+
2x
 
.

Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt

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